Решить систему неравенств с двумя переменными онлайн. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными
Пусть f(x,y) и g(x, y) - два выражения с переменными х и у и областью определения Х . Тогда неравенства вида f(x, y) > g(x, y) или f(x, y) < g(x, y) называется неравенством с двумя переменными .
Значение переменных х, у из множества Х , при которых неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решением и обозначается (x, y) . Решить неравенство - это значит найти множество таких пар.
Если каждой паре чисел (x, y) из множества решений неравенства поставить в соответствие точку М(x, y) , получим множество точек на плоскости, задаваемое этим неравенством. Его называют графиком данного неравенства . График неравенства обычно является областью на плоскости.
Чтобы изобразить множество решений неравенства f(x, y) > g(x, y) , поступают следующим образом. Сначала заменяют знак неравенства знаком равенства и находят линию, имеющую уравнение f(x,y) = g(x,y) . Эта линия делит плоскость на несколько частей. После этого достаточно взять в каждой части по одной точке и проверить, выполняется ли в этой точке неравенство f(x, y) > g(x, y) . Если оно выполняется в этой точке, то оно будет выполняться и во всей части, где лежит эта точка. Объединяя такие части, получаем множество решений.
Задача. y > x .
Решение. Сначала заменим знак неравенства знаком равенства и построим в прямоугольной системе координат линию, имеющую уравнение y = x .
Эта линия делит плоскость на две части. После этого возьмем в каждой части по одной точке и проверим, выполняется ли в этой точке неравенство y > x .
Задача.
Решить графически неравенство
х
2 + у
2 £ 25.
|
Решение.
Сначала заменим знак неравенства знаком равенства и проведем линию х
2 + у
2 = 25. Это окружность с центром в начале координат и радиусом 5. Полученная окружность делит плоскость на две части. Проверяя выполнимость неравенства х
2 + у
2 £ 25 в каждой части, получаем, что графиком является множество точек окружности и части плоскости внутри окружности. Пусть даны два неравенства f 1(x, y) > g 1(x, y) и f 2(x, y) > g 2(x, y) .
Системы совокупностей неравенств с двумя переменными
Система неравенств представляет собой конъюнкцию этих неравенств. Решением системы является всякое значение (x, y) , которое обращает каждое из неравенств в истинное числовое неравенство. Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений неравенств, образующих данную систему.
Совокупность неравенств представляет собой дизъюнкцию этих неравенств. Решением совокупности является всякое значение (x, y) , которое обращает в истинное числовое неравенство хотя бы одно из неравенств совокупности. Множество решений совокупности есть объединение множеств решений неравенств, образующих совокупность.
Задача.
Решить графически систему неравенств 
Решение.
у = х
и х
2 + у
2 = 25. Решаем каждое неравенство системы.
Графиком системы будет множество точек плоскости, являющихся пересечением (двойная штриховка) множеств решений первого и второго неравенств.
Задача.
Решить графически совокупность неравенств 
Упражнения для самостоятельной работы
1. Решите графически неравенства: а) у > 2x ; б) у < 2x + 3;
в) x 2 + y 2 > 9; г) x 2 + y 2 £ 4.
2. Решите графически системы неравенств:
а) в) 
Видеоурок «Системы неравенств с двумя переменными» содержит наглядный учебный материал по данной теме. В урок включено рассмотрение понятия о решении системы неравенств с двумя переменными, примеров решения подобных систем графическим способом. Задача данного видеоурока - формировать умение учеников решать системы неравенств с двумя переменными графическим способом, облегчить понимание процесса поиска решений таких систем и запоминания метода решения.
Каждое описание решения сопровождается рисунками, которые отображают решение задачи на координатной плоскости. На таких рисунках наглядно показаны особенности построения графиков и расположения точек, соответствующих решению. Все важные детали и понятия выделены при помощи цвета. Таким образом, видеоурок является удобным инструментом для решения задач учителя на уроке, освобождает учителя от подачи стандартного блока материала для проведения индивидуальной работы с учениками.
Видеоурок начинается с представления темы и рассмотрения примера поиска решений системы, состоящей из неравенств x<=y 2 и у<х+3. Примером точки, координаты которой удовлетворяют условиям обеих неравенств, является (1;3). Отмечается, что, так как данная пара значений является решением обоих неравенств, то она является одним из множества решений. А все множество решений будет охватывать пересечение множеств, которые являются решениями каждого из неравенств. Данный вывод выделен в рамку для запоминания и указания на его важность. Далее указывается, что множество решений на координатной плоскости представляет собой множество точек, которые являются общими для множеств, представляющих решения каждого из неравенств.
Понимание сделанных выводов о решении системы неравенств закрепляется рассмотрением примеров. Первым рассматривается решение системы неравенств х 2 +у 2 <=9 и x+y>=2. Очевидно, что решения первого неравенства на координатной плоскости включают окружность х 2 +у 2 =9 и область внутри нее. Эта область на рисунке заполняется горизонтальной штриховкой. Множество решений неравенства x+y>=2 включает прямую x+y=2 и полуплоскость, расположенную выше. Данная область также обозначается на плоскости штрихами другого направления. Теперь можно определить пересечение двух множеств решений на рисунке. Оно заключено в сегменте круга х 2 +у 2 <=9, который покрыт штриховкой полуплоскости x+y>=2.
Далее разбирается решение системы линейных неравенств y>=x-3 и y>=-2x+4. На рисунке рядом с условием задания строится координатная плоскость. На ней строится прямая, соответствующая решениям уравнения y=x-3. Областью решения неравенства y>=x-3 будет область, расположенная над данной прямой. Она заштриховывается. Множество решений второго неравенства располагается над прямой y=-2x+4. Данная прямая также строится на той же координатной плоскости и область решений штрихуется. Пересечением двух множеств является угол, построенный двумя прямыми, вместе с его внутренней областью. Область решений системы неравенств заполнена двойной штриховкой.
При рассмотрении третьего примера описан случай, когда графиками уравнений, соответствующих неравенствам системы, являются параллельные прямые. Решить необходимо систему неравенств y<=3x+1 и y>=3x-2. На координатной плоскости строится прямая, соответствующая уравнению y=3x+1. Область значений, соответствующих решениям неравенства y<=3x+1, лежит ниже данной прямой. Множество решений второго неравенства лежит выше прямой y=3x-2. При построении отмечается, что данные прямые параллельны. Область, являющаяся пересечением двух множеств решений, представляет собой полосу между данными прямыми.
Видеоурок «Системы неравенств с двумя переменными» может применяться в качестве наглядного пособия на уроке в школе или заменить объяснение учителя при самостоятельном изучении материала. Подробное понятное объяснение решения систем неравенств на координатной плоскости может помочь подать материал при дистанционном обучении.
Часто приходится изображать на координатной плоскости мно-жество решений неравенства с двумя переменными. Решением неравенства с двумя переменными называют пару значений этих переменных, которая обращает данное неравенство в верное числовое неравенство.
2у + Зх < 6.
Сначала построим прямую. Для этого запишем неравенство в виде уравнения 2у + Зх = 6 и выразим y. Таким образом, получим: y=(6-3 x)/2.
Эта прямая раз-бивает множество всех точек координатной плоскости на точки, расположенные выше ее, и точки, расположенные ниже ее.
Возь-мем из каждой области по контрольной точке , например А (1;1) и В (1; 3)
Координаты точки А удовлетворяют данному неравенству 2у + Зх < 6, т. е. 2 . 1 + 3 . 1 < 6.
Координаты точки В не удовлетворяют данному неравенству 2∙3 + 3∙1 < 6.
Так как данное неравенство может изменить знак на прямой 2у + Зх = 6, то неравенству удовлетворяет множество точек той об-ласти, где расположена точка А. Заштрихуем эту область.
Таким образом, мы изобразили множество решений неравенства 2у + Зх < 6.
Пример
Изобразим множество решений неравенства х 2 + 2х + у 2 - 4у + 1 > 0 на координатной плоскости.
Построим сначала график уравнения х 2 + 2х + у 2 - 4у + 1 = 0. Вы-делим в этом уравнении уравнение окружности: (х 2 + 2х + 1) + (у 2 - 4у + 4) = 4, или (х + 1) 2 + (у - 2) 2 = 2 2 .
Это уравнение окружности с центром в точке 0 (-1; 2) и радиусом R = 2. Построим эту окружность.
Так как данное неравенство строгое и точки, лежащие на самой окружности, неравенству не удовлетворяют, то строим окружность пунктирной линией.
Легко проверить, что координаты центра О окружности данному неравенству не удовлетворяют. Выражение х 2 + 2х + у 2 - 4у + 1 ме-няет свой знак на построенной окружности. Тогда неравенству удовлетворяют точки, расположенные вне окружности. Эти точки заштрихованы.
Пример
Изобразим на координатной плоскости множество решений нера-венства
(у - х 2)(у - х - 3) < 0.
Сначала построим график уравнения (у - х 2)(у - х - 3) = 0. Им яв-ляется парабола у = х 2 и прямая у = х + 3. Построим эти линии и отметим, что изменение знака выражения (у - х 2)(у - х - 3) проис-ходит только на этих линиях. Для точки А (0; 5) определим знак это-го выражения: (5- 3) > 0 (т. е. данное неравенство не выполняется). Теперь легко отметить множество точек, для кото-рых данное неравенство выполнено (эти области заштрихованы).
Алгоритм решения неравенств с двумя переменными
1. Приведем неравенство к виду f (х; у) < 0 (f (х; у) > 0; f (х; у) ≤ 0; f (х; у) ≥ 0;)
2. Записываем равенство f (х; у) = 0
3. Распознаем графики, записанные в левой части.
4. Строим эти графики. Если неравенство строгое (f (х; у) < 0 или f (х; у) > 0), то - штрихами, если неравенство нестрогое (f (х; у) ≤ 0 или f (х; у) ≥ 0), то - сплошной линией.
5. Определяем, на сколько частей графики разбили координатную плоскость
6. Выбираем в одной из этих частей контрольную точку. Определяем знак выражения f (х; у)
7. Расставляем знаки в других частях плоскости с учетом чередования (как по методу интервалов)
8. Выбираем нужные нам части в соответствии со знаком неравенства, которое мы решаем, и наносим штриховку
Любому учителю известно, что уроки, посвященные изучению графиков функций, требуют построения большого количества графиков. Чем больше будет построено графиков, тем лучше учащиеся освоят данный материал. Но возникает проблема – ограниченное время урока. Перед учителем встает вопрос о выборе средств и методов обучения с целью обеспечения максимальной эффективности изучения математики. В этом случае приходят на помощь компьютерные технологии. В настоящее время существует много программ, с помощью которых можно рисовать графики функций. Они дают возможность проиллюстрировать свойства функций быстро и наглядно, что повышает и активизирует познавательную деятельность учащихся. На представленном уроке используется программа Advanced Grapher.
Класс : 9.
Технологии: Информационно-коммуникативные технологии.
Оборудование : Компьютер; проектор, интерактивная доска; программа «Advanced Grapher», классная доска; учебник «Алгебра 9 класс». (Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова. Москва «Просвещение», 2011г.), рабочая тетрадь, карточки-тесты.
Цели:
- Образовательные – ввести понятие решения системы неравенств с двумя переменными; формировать умение решать системы неравенств с двумя переменными, отработать навыки построения множества решений систем неравенств на координатной плоскости;
- Развивающие – формирование графической и функциональной культуры учащихся;
- Воспитательные – воспитание интереса к математике и повышение мотивации учебной деятельности через внедрение компьютерных технологий в процесс обучения, побуждать учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей учебной деятельности.
Ход урока
Актуализация знаний .
Учитель. На доске вы видите два неравенства
х 2 +3ху –у 2 <20 и (х-3) 2 +(у-4) 2 <2
- Как они называются? [Неравенства с двумя переменными]
- Что является решением такого неравенства? [Пара чисел, которые удовлетворяют неравенству]
- Определите, является ли пара чисел (-2;3) решением какого либо из этих неравенств? [Являются решением только первого неравенства]
- Найдите свою пару чисел которая являлась бы решением второго неравенства [Например 3 и 4, 4 и 4, 3 и 5 и т.д.]
Проверка домашнего задания.
Учитель Давайте вспомним, как решаются такие неравенства.
На примере неравенств х 2 +2 > у и (x -1)^2+(y +2)^2<4 рассказать о решениинеравенств с двумя переменными.
Двое учащихся рассказывают и показывают решение неравенств на доске.
- Чем отличается решение строгого неравенства от нестрогого? [линия функии штриховая]
- Как можно проверить правильно ли вы выбрали множество? [Правило пробной точки]
Проверим решение №484б и г с помощью программы «Advanced Grapher» на интерактивной доске. (Учитель открывает готовый файл Приложение 1.agr. В окне слева выбирает первую и вторую функцию
Чтобы проверить решение второго неравенства отмените построение предыдущих двух и выберите следующие две)
[Учащиеся сравнивают решение в тетрадях с изображением на интерактивной доске.]
Тестовая работа.
на готовых карточках- координатных плоскостях (Приложение 2) показать решения неравенств а) х>2, б) у<-2; в) -3<у<3; г)│х│<у; д)│ х-2│>у с последующей проверкой на интерактивной доске с помощью программы « Advanced Grapher ». (Приложение 1. agr)
Новая тема.
Учитель. Тема сегодняшнего урока «Системы неравенств с двумя переменными»
- Как вы думаете, каковы цели сегодняшнего урока?
- Чему вы должны научиться к концу сегодняшнего урока?
Рассмотрим систему неравенств с двумя переменными.
- Как вы думаете, что же может, является решением такой системы? [Пара чисел]
- Какие из пар (4;2), (-5;1), (-2;-1) являются решением этой системы? [Первая]
- Как по-вашему, сколько решений может иметь такая система? [Множество]
- Что значит решить систему?c[Найти все решения, или доказать, что таких решений нет]
Учитель. Давайте выясним, какое множество точек задает на координатной плоскости система. Как это сделать? [Решить по отдельности каждое неравенство и найти их пересечение решений.]
Пример 1
Ребята в тетрадях рисуют графики функций, а учитель поэтапно показывает графики на интерактивной доске (Приложение 1.agr)
Как можно проверить правильно ли показано множество решений? [Правило пробной точки]
Пример 2. Выполнение в тетради, затем поэтапная проверка на интерактивной доске (Приложение 1.agr)
Пример 3 Выполнение в тетради, затем поэтапная проверка на интерактивной доске (Приложение 1.agr)
Закрепление .
№497 а, в на обычной доске [Одновременное решение на доске и в тетрадях]
Итоги урока .
– Что называется решением системы неравенств с двумя переменными?
– Как решаются системы линейных неравенств с двумя переменными?
– Как проверить верно ли выбрано решение?
Домашнее задание.
№ 497 (б, г), Доп.задание: Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств.
