Меню
ГлавнаяОсвещение

Диагонали ромба пересекаются под углом 90. Что такое ромб? Диагонали ромба являются биссектрисами его углов

с равными сторонами. Ромб с прямыми углами является квадратом .

Ромб рассматривают как вид параллелограмма, с двумя смежными равными сторонами либо с взаимно перпендикулярными диагоналями, либо с диагоналями делящими угол на 2 равные части.

Свойства ромба.

1. Ромб - это параллелограмм, поэтому противоположные стороны имеют одинаковую длину и параллельны попарно, АВ || CD, AD || ВС.

2. Угол пересечения диагоналей ромба является прямым (AC ⊥ BD) и точкой пересечения делятся на две одинаковые части. То есть диагонали делят ромб на 4 треугольника - прямоугольных.

3. Диагонали ромба - это биссектрисы его углов (∠ DCA = ∠ BCA, ∠ ABD = ∠ CBD и т. д.).

4. Сумма квадратов диагоналей равняется квадрату стороны, умноженному на четыре (вывод из тождества параллелограмма).

Признаки ромба.

Параллелограмм ABCD будет называться ромбом только в случае выполнения хотя бы одного из условий:

1. 2 его смежные стороны имеют одинаковую длину (то есть, все стороны ромба равны, AB=BC=CD=AD ).

2. Угол пересечения диагоналей прямой (AC ⊥ BD ).

3. 1-на из диагоналей делит углы, которые ее содержат пополам.

Пусть мы заранее не знаем, что четырёхугольник оказывается параллелограммом, однако известно, что все его стороны равны. Значит этот четырёхугольник является ромбом.

Симметрия ромба.

Ромб симметричен относительно всех своих диагоналей, зачастую его используют в орнаментах и паркетах.

Периметр ромба.

Периметр геометрической фигуры - суммарная длина границ плоской геометрической фигуры. У периметра та же размерность величин, что и у длины.

AB \parallel CD,\;BC \parallel AD

AB = CD,\;BC = AD

2. Диагонали ромба перпендикулярны.

AC\perp BD

Доказательство

Так как ромб является параллелограммом, то его диагонали делятся пополам.

Значит, \triangle BOC = \triangle DOC по трем сторонам (BO = OD , OC — совместная, BC = CD ). Получаем, что \angle BOC = \angle COD , и они смежны.

\Rightarrow \angle BOC = 90^{\circ} и \angle COD = 90^{\circ} .

3. Точка пересечения диагоналей делит их пополам.

AC=2\cdot AO=2\cdot CO

BD=2\cdot BO=2\cdot DO

4. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

\angle 1 = \angle 2; \; \angle 5 = \angle 6 ;

\angle 3 = \angle 4; \; \angle 7 = \angle 8 .

Доказательство

По причине того, что диагонали разделены точкой пересечения пополам, и все стороны ромба равны друг другу, то вся фигура делится диагоналями на 4 равных треугольника:

\triangle BOC, \; \triangle BOA, \; \triangle AOD, \; \triangle COD .

Это значит, что BD , AC — биссектрисы.

5. Диагонали образуют из ромба 4 прямоугольных треугольника.

6. Любой ромб может содержать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей.

7. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату одной из сторон ромба умноженному на четыре

AC^2 + BD^2 = 4\cdot AB^2

Признаки ромба

1. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом.

\begin{cases} AC \perp BD \\ ABCD \end{cases} — параллелограмм, \Rightarrow ABCD — ромб.

Доказательство

ABCD является параллелограммом \Rightarrow AO = CO ; BO = OD . Также указано, что AC \perp BD \Rightarrow \triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD = \triangle AOD - по 2-м катетам.

Получается, что AB = BC = CD = AD .

Доказано!

2. Когда в параллелограмме хотя бы одна из диагоналей разделяет оба угла (через которые она проходит) пополам, то этой фигурой будет ромб.

Доказательство

На заметку: не каждая фигура (четырехугольник) с перпендикулярными диагоналями будет ромбом.

К примеру:

Это уже не ромб, не смотря на перпендикулярность диагоналей.

Для отличия стоит запомнить, что сначала четырехугольник должен быть параллелограммом и иметь

Среди многообразия геометрических фигур заметно выделяется такой четырехугольник, как ромб. Даже само его название не типично для обозначения четырехугольников. И хотя в геометрии он встречается значительно реже, чем такие простые фигуры, как круг, треугольник, квадрат или прямоугольник, его также нельзя оставлять без внимания.

Ниже представлены определение, свойства и признаки ромбов.

Определение

Ромб - это параллелограмм, имеющий равные стороны. Ромб называется квадратом, если все его углы прямые. Наиболее ярким примером ромба является изображение бубновой масти на игральной карте. Кроме того, ромб часто изображали на различных гербах. Примером ромба в повседневной жизни может служить баскетбольное поле.

Свойства

  1. Противолежащие стороны ромба лежат на параллельных прямых и имеют одинаковую длину.
  2. Пересечение диагоналей ромба происходит под углом 90 о в одной точке, которая является их серединой.
  3. Диагонали ромба делят угол, из вершины которого они вышли, пополам.
  4. Исходя из свойств параллелограмма, можно вывести сумму квадратов диагоналей. Согласно формуле она равна стороне, возведенной в квадратичную степень и умноженной на четыре.

Признаки

Мы должны четко понимать, что любой ромб является параллелограммом, но в то же время не любой параллелограмм обладает всеми показателями ромба. Чтобы отличать эти две геометрические фигуры, нужно знать признаки ромба. Ниже перечислены характерные признаки данной геометрической фигуры:

  1. Две любые стороны с общей вершиной равны.
  2. Диагонали пересекаются под углом 90 о С.
  3. Хотя бы одна диагональ делит углы, из точек вершин которых она выходит, пополам.

Формулы площади

Основная формула:

  • S = (AC*BD)/2

Исходя из свойств параллелограмма:

  • S = (AB*H AB)

Исходя из величины угла между двумя смежными сторонами ромба:

  • S = AB2*sinα

Если нам известна длина радиуса окружности, вписанной в ромб:

  • S = 4r 2 /(sinα), где:
    • S - площадь;
    • AB, AC, BD - обозначение сторон;
    • H - высота;
    • r - радиус окружности;
    • sinα - синус альфа.

Периметр

Чтобы вычислить периметр ромба, достаточно лишь умножить длину любой из его сторон на четыре.

Построение рисунка

У некоторых возникают трудности с построением рисунка ромба. Даже если вы уже разобрались с тем, что такое ромб, не всегда ясно, как построить его рисунок аккуратно и с соблюдением необходимых пропорций.

Есть два способа построения рисунка ромба:

  1. Построить вначале одну диагональ, затем перпендикулярно к ней вторую диагональ, а потом соединить концы отрезков смежных попарно параллельных сторон ромба.
  2. Отложить вначале одну сторону ромба, затем параллельно ей построить отрезок, равный по длине, и соединить концы этих отрезков также попарно параллельно.

Будьте внимательны при построении - если на рисунке сделаете длину всех сторон ромба одинаковой, вы получите не ромб, а квадрат.

На рисунке 1 $ABCD$ - ромб, $A B=B C=C D=A D$. Так как ромб - это параллелограмм , то он обладает всеми свойствами параллелограмма, но так же есть свойства присущие только ромбу.

В любой ромб можно вписать окружность. Центр окружности, вписанной в ромб, является точкой пересечения его диагоналей. Радиус окружности равен половине высоты ромба $r=\frac{A H}{2}$ (рис.1)

Свойства ромба

  1. Диагонали ромба перпендикулярны;
  2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Признаки ромба

  1. Параллелограмм, диагонали которого пересекаются под прямым углом, есть ромб;
  2. Параллелограмм, диагонали которого являются биссектрисами его углов, есть ромб.

Примеры решения задач

Пример

Задание. Диагонали ромба $ABCD$ равны 6 и 8 см. Найти сторону ромба.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 1). Пусть для определенности, $A C=6$ см, $B D=8$ см. По свойству ромба его диагонали пересекаются под прямым углом. В точке пересечения диагонали делятся пополам (свойство параллелограмма, а ромб является частным случаем параллелограмма).

Рассмотрим треугольник $A O B$. Он прямоугольный ($\angle O=90^{\circ}$), $A O=\frac{A C}{2}=\frac{6}{2}=3$ см, $B O=\frac{B D}{2}=\frac{8}{2}=4$ см. Запишем для этого треугольника теорему Пифагора :

$$A B^{2}=A O^{2}+B O^{2}$$

подставим найденные значения $AO$ и $BO$,

$A B^{2}=3^{2}+4^{2}$

Ответ. Сторона ромба равна 5 см.

Пример

Задание. В ромбе со стороной 4 дм, один из углов равен $60^{\circ}$. Найти диагонали ромба.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 2).

Пусть для определенности $\angle B=60^{\circ}$. Тогда, по свойству ромба, диагональ $BD$ является биссектрисой угла $B$, $\angle A B O=\angle O B C=\frac{\angle B}{2}=30^{\circ}$. Рассмотрим $\Delta O B C$, он прямоугольный ($\angle B O C=90^{\circ}$), потому что диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Так как $\angle O B C=30^{\circ}, O C=\frac{B C}{2}=2$ дм - катет лежащий против угла в $30^{\circ}$. По теореме Пифагора найдем $B O$:

$$B O=\sqrt{B C^{2}-O C^{2}}$$

$$B O=\sqrt{4^{2}-2^{2}}$$

$$B O=\sqrt{12}$$

$$B O=2 \sqrt{3}$$

Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, поэтому

$B D=2 \cdot B O=2 \cdot 2 \sqrt{3}=4 \sqrt{3}$ (дм)

$A C=2 \cdot O C=2 \cdot 2=4$ (дм)

Ответ. $B D=4 \sqrt{3}$ дм, $A C=4$ дм

Пример

Задание. В ромбе угол образованный одной из диагоналей и стороной ромба равен $27^{\circ}$. Найти углы ромба.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 3)

Для определенности $\angle K L O=27^{\circ}$. Диагонали в ромбе являются биссектрисами его углов, поэтому $\angle L=2 \cdot \angle K L O=2 \cdot 27^{\circ}=54^{\circ}$. Так как ромб является параллелограммом, на него распространяются следующие свойства: сумма прилегающих к одной стороне углов равна $180^{\circ}$ и противолежащие углы равны. Поэтому,

$\angle M=\angle K=180^{\circ}-\angle L=180^{\circ}-54^{\circ}=126^{\circ}$

Ответ. $\angle N=\angle L=54^{\circ}$

$\angle M=\angle K=126^{\circ}$

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.