Необходимое условие стр квадратичной формы. Квадратичные формы.Знакоопределённость форм
При решении различных прикладных задач часто приходится исследовать квадратичные формы.
Определение. Квадратичной формойL( , х 2 , ..., х n) от n переменных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом:
L( ,х 2 ,...,х n) =
Предполагаем, что коэффициенты квадратичной формы - действительные числа, причем
Матрица А=() (i, j = 1, 2, ...,n), составленная из этих коэффициентов, называется матрицей квадратичной формы.
В матричной записи квадратичная форма имеет вид: L = Х"АХ, где X = (х 1, х 2 ,..., х n)" - матрица-столбец переменных.
Пример 8.1
Записать квадратичную форму L( , х 2 , х 3)= в матричном виде.
Найдем матрицу квадратичной формы. Ее диагональные элементы равны коэффициентам при квадратах переменных, т.е. 4, 1, -3, а другие элементы - половинам соответствующих коэффициентов квадратичной формы. Поэтому
L=( , х 2 , х 3) 
.
При невырожденном линейном преобразовании X = CY матрица квадратичной формы принимает вид: А * =С"АС. (*)
Пример 8.2
Дана квадратичная форма L(x x , х 2) =2х 1 2 +4x 1 x 2 -3 . Найти квадратичную форму L(y 1 ,y 2),полученную из данной линейным преобразованием = 2у 1 - 3y 2 , x 2 = у 1 + у 2 .
Матрица данной квадратичной формы A= , а матрица линейного преобразования
С = . Следовательно, по (*) матрица искомой квадратичной формы
А квадратичная форма имеет вид
L(y 1, y 2) =
.
Следует отметить, что при некоторых удачно выбранных линейных преобразованиях вид квадратичной формы можно существенно упростить.
Определение. Квадратичная форма L( ,х 2 ,...,х n) = называется канонической (или имеет канонический вид), если все ее коэффициенты = 0 при i¹j:
L= 
, а её матрица является диагональной.
Справедлива следующая теорема.
Теорема. Любая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования переменных может быть приведена к каноническому виду.
Пример 8.3
Привести к каноническому виду квадратичную форму
L( , х 2 , х 3)=
Вначале выделим полный квадрат при переменной , коэффициент при квадрате которой отличен от нуля:
Теперь выделяем полный квадрат при переменной , коэффициент при которой отличен от нуля:
Итак, невырожденное линейное преобразование
приводит данную квадратичную форму к каноническому виду: 
Канонический вид квадратичной формы не является однозначно определенным, так как одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими способами. Однако полученные различными способами канонические формы обладают рядом общих свойств. Одно из этих свойств сформулируем в виде теоремы.
Теорема (закон инерции квадратичных форм). Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду.
Следует отметить, что ранг матрицы квадратичной формы равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не меняется при линейных преобразованиях.
Определение. Квадратичная форма L( , х 2 , ..., х n) называется положительно (отрицательно) определенной, если при всех значениях переменных, из которых хотя бы одно отлично от нуля,
L( , х 2 , ..., х n) > 0 (L( , х 2 , ..., х n) < 0).
Так, например
, квадратичная форма 
является положительно определенной, а форма - отрицательно определенной.
Теорема. Для того чтобы квадратичная форма L = Х"АХ была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения , матрицы А были положительны (отрицательны).
Введение…………………………………………..................................................3
1 Теоретические сведения о квадратичных формах……………………………4
1.1 Определение квадратичной формы……………………………………….…4
1.2 Приведение квадратичной формы к каноническому виду………………...6
1.3 Закон инерции…………………………………………………………….….11
1.4 Положительно определенные формы……………………………………...18
2 Практическое применение квадратичных форм …...………………………22
2.1 Решение типовых задач …………………………………………................22
2.2 Задания для самостоятельного решения……...………………….………...26
2.3 Тестовые задания…………………………………………............................27
Заключение………….……………………………...……………………………29
Список использованной литературы…………………………………………...30
ВВЕДЕНИЕ
Первоначально теория квадратичных форм использовалась для исследования кривых и поверхностей, задаваемых уравнениями второго порядка, содержащими две или три переменные. Позднее эта теория нашла и другие приложения. В частности, при математическом моделировании экономических процессов целевые функции могут содержать квадратичные слагаемые. Многочисленные приложения квадратичных форм потребовали построения общей теории, когда число переменных равно любому
, а коэффициенты квадратичной формы не всегда являются вещественными числами .Теория квадратичных форм впервые была развита французским математиком Лагранжем, которому принадлежат многие идеи в этой теории, в частности, он ввел важное понятие приведенной формы, с помощью которого им была доказана конечность числа классов бинарных квадратичных форм заданного дискриминанта. Затем эта теория значительно была расширенна Гауссом, который ввел много новых понятий, на основе которых ему удалось получить доказательства трудных и глубоких теорем теории чисел, ускользавших от его предшественников в этой области .
Целью работы является изучение видов квадратичных форм и способов приведения квадратичных форм к каноническому виду.
В данной работе поставлены следующие задачи: выбрать необходимую литературу, рассмотреть определения, решить ряд задач и подготовить тесты.
1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ О КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМАХ
1.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ
Квадратичной формой
от неизвестных называется сумма, каждый член которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных. Квадратичная форма бывает двух видов: действительной и комплексной, в зависимости от того, являются ли ее коэффициенты действительными или комплексными числами.Обозначая коэффициент при
через , а при произведении
, через 
, квадратичную форму можно представить в виде:
.
Из коэффициентов
можно составить квадратную матрицу порядка ; она называется матрицей квадратичной формы , а ее ранг - рангом квадратичной формы. Если, в частности, , где , то есть матрица - невырожденная, то и квадратичная форма называется невырожденной. Для любой симметрической матрицы - го порядка можно указать в полне определенную квадратичную форму:
(1.1)
- неизвестных, имеющую элементы матрицы своими коэффициентами.
Обозначим теперь через
столбец, составленный из неизвестных: . является матрицей, имеющей строк и один столбец. Транспонируя эту матрицу, получим матрицу:
, составленную из одной строки.
Квадратичная форма (1.1) с матрицей
может быть записана теперь в виде произведения:.1.2 ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ
К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
Предположим, что квадратичная форма
от неизвестных уже приведена невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду , где - новые неизвестные. Некоторые из коэффициентов могут быть нулями. Докажем, что число отличных от нуля коэффициентов непременно равно рангу формы . Матрица этой квадратичной формы имеет диагональный вид
,
и требование, чтобы эта матрица имела ранг
, равносильно предположению, что на ее главной диагонали стоит ровно отличных от нуля элементов.Теорема. Всякая квадратичная форма может быть приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду. Если при этом рассматривается действительная квадратичная форма, то все коэффициенты указанного линейного преобразования можно считать действительными.
Доказательство. Эта теорема верна для случая квадратичных форм от одного неизвестного, так как всякая такая форма имеет вид
, являющийся каноническим. Введем доказательство по индукции, то есть доказывать теорему для квадратичных форм от неизвестных, считая что она уже доказана для форм с меньшим числом неизвестных.Пусть дана квадратичная форма (1.1) от
Квадратичные формы.
Знакоопределённость форм. Критерий Сильвестра
Прилагательное «квадратичный» сразу наталкивает на мысль, что что-то здесь связано с квадратом (второй степенью), и очень скоро мы узнаем это «что-то» и что такое форма. Прямо скороговоркой получилась:)
Приветствую вас на своём новом уроке, и в качестве незамедлительной разминки мы рассмотрим форму в полосочку линейную . Линейной формой переменных называют однородный многочлен 1-й степени:
– какие-то конкретные числа*
(предполагаем, что хотя бы одно из них отлично от нуля)
, а – переменные, которые могут принимать произвольные значения.
* В рамках данной темы будем рассматривать только действительные числа .
С термином «однородный» мы уже сталкивались на уроке об однородных системах линейных уравнений , и в данном случае он подразумевает, что у многочлена нет приплюсованной константы .
Например: 
– линейная форма двух переменных
Теперь форма квадратичная. Квадратичной формой переменных называют однородный многочлен 2-й степени, каждое слагаемое которого содержит либо квадрат переменной, либо парное произведение переменных. Так, например, квадратичная форма двух переменных имеет следующий вид:
Внимание!
Это стандартная запись, и что-то менять в ней не нужно! Несмотря на «страшный» вид, тут всё просто – двойные подстрочные индексы констант сигнализируют о том, какие переменные входят в то или иное слагаемое:
– в этом слагаемом находится произведение и (квадрат);
– здесь произведение ;
– и здесь произведение .
– сразу упреждаю грубую ошибку, когда теряют «минус» у коэффициента, не понимая, что он относится к слагаемому:
Иногда встречается «школьный» вариант оформления в духе , но то лишь иногда. Кстати, заметьте, что константы нам тут вообще ни о чем не говорят, и поэтому запомнить «лёгкую запись» труднее. Особенно, когда переменных больше.
И квадратичная форма трёх переменных содержит уже шесть членов:
…почему в «смешанных» слагаемых ставятся множители-«двойки»? Это удобно, и скоро станет понятно, почему.
Однако общую формулу запишем, её удобно оформить «простынёй»:
– внимательно изучаем каждую строчку – ничего страшного тут нет!
Квадратичная форма содержит слагаемых с квадратами переменных и слагаемых с их парными произведениями (см. комбинаторную формулу сочетаний ) . Больше ничего – никаких «одиноких иксов» и никакой приплюсованной константы (тогда уже получится не квадратичная форма, а неоднородный многочлен 2-й степени).
Матричная запись квадратичной формы
В зависимости от значений рассматриваемая форма может принимать как положительные, так и отрицательные значения, и то же самое касается любой линейной формы – если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля, то она может оказаться как положительной, так и отрицательной (в зависимости от значений ).
Такая форма называется знакопеременной . И если с линейной формой всё прозрачно, то с формой квадратичной дела обстоят куда более интересно:
Совершенно понятно, что данная форма может принимать значения любого знака, таким образом, квадратичная форма тоже может быть знакопеременной .
А может и не быть:
– всегда, если только одновременно не равны нулю.
– для любого вектора , кроме нулевого .
И вообще, если для любого ненулевого вектора , , то квадратичную форму называют положительно определённой ; если же – то отрицательно определённой .
И всё бы было хорошо, но определённость квадратичной формы виднА лишь в простых примерах, и эта видимость теряется уже при небольшом усложнении:
– ?
Можно предположить, что форма определена положительно, но так ли это на самом деле? Вдруг существуют значения , при которых она меньше нуля?
На этот счёт существует теорема : если ВСЕ собственные числа матрицы квадратичной формы положительны* , то она определена положительно. Если все отрицательны – то отрицательно.
* В теории доказано, что все собственные числа действительной симметрической матрицы действительны
Запишем матрицу вышеприведённой формы:
и из уравнения 
найдём её собственные значения
:
Решаем старое доброе квадратное уравнение
:
, значит, форма 
определена положительно, т.е. при любых ненулевых значениях она больше нуля.
Рассмотренный метод вроде бы рабочий, но есть одно большое НО. Уже для матрицы «три на три» искать собственные числа – есть занятие долгое и неприятное; с высокой вероятностью получится многочлен 3-й степени с иррациональными корнями.
Как быть? Существует более простой путь!
Критерий Сильвестра
Нет, не Сильвестра Сталлоне:) Сначала напомню, что такое угловые миноры
матрицы. Это определители
которые «разрастаются» из её левого верхнего угла:
и последний из них в точности равен определителю матрицы.
Теперь, собственно, критерий :
1) Квадратичная форма определена положительно тогда и только тогда, когда ВСЕ её угловые миноры больше нуля: .
2) Квадратичная форма определена отрицательно тогда и только тогда, когда её угловые миноры знакочередуются, при этом 1-й минор меньше нуля: , , если – чётное или , если – нечётное.
Если хотя бы один угловой минор противоположного знака, то форма знакопеременна . Если угловые миноры «того» знака, но среди них есть нулевые, то это особый случай, который я разберу чуть позже, после того, как мы перещёлкаем более распространённые примеры.
Проанализируем угловые миноры матрицы 
:
И это сразу говорит нам о том, что форма не определена отрицательно.
Вывод
: все угловые миноры больше нуля, значит, форма 
определена положительно.
Есть разница с методом собственных чисел? ;)
Запишем матрицу формы из Примера 1
:
первый её угловой минор , а второй 
, откуда следует, что форма знакопеременна, т.е. в зависимости от значений , может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Впрочем, это и так очевидно.
Возьмём форму и её матрицу из Примера 2
:
тут вообще без озарения не разобраться. Но с критерием Сильвестра нам всё нипочём:
, следовательно, форма точно не отрицательна.
, и точно не положительна (т.к. все угловые миноры должны быть положительными)
.
Вывод : форма знакопеременна.
Разминочные примеры для самостоятельного решения:
Пример 4
Исследовать квадратичные формы на знакоопределенность
а) 
В этих примерах всё гладко (см. конец урока), но на самом деле для выполнения такого задания критерия Сильвестра может оказаться не достаточно .
Дело в том, что существуют «краевые» случаи, а именно: если для любого ненулевого вектора , то форма определена неотрицательно , если – то неположительно . У этих форм существует ненулевые векторы , при которых .
Здесь можно привести такой «баян»:
Выделяя полный квадрат
, сразу видим неотрицательность
формы: , причём, она равна нулю и при любом векторе с равными координатами, например: 
.
«Зеркальный» пример неположительно
определённой формы:
и ещё более тривиальный пример:
– здесь форма равна нулю при любом векторе , где – произвольное число.
Как выявить неотрицательность или неположительнось формы?
Для этого нам потребуется понятие главных миноров
матрицы. Главный минор – это минор, составленный из элементов, которые стоят на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами. Так, у матрицы существуют два главных минора 1-го порядка:
(элемент находится на пересечении 1-й строки и 1-го столбца);
(элемент находится на пересечении 2-й строки и 2-го столбца),
и один главный минор 2-го порядка:
– составлен из элементов 1-й, 2-й строки и 1-го, 2-го столбца.
У матрицы «три на три» 
главных миноров семь, и тут уже придётся помахать бицепсами:
– три минора 1-го порядка,
три минора 2-го порядка:
– составлен из элементов 1-й, 2-й строки и 1-го, 2-го столбца;
– составлен из элементов 1-й, 3-й строки и 1-го, 3-го столбца;
– составлен из элементов 2-й, 3-й строки и 2-го, 3-го столбца,
и один минор 3-го порядка:
– составлен из элементов 1-й, 2-й, 3-й строки и 1-го, 2-го и 3-го столбца.
Задание
на понимание: записать все главные миноры матрицы 
.
Сверяемся в конце урока и продолжаем.
Критерий Шварценеггера :
1) Ненулевая* квадратичная форма определена неотрицательно тогда и только тогда, когда ВСЕ её главные миноры неотрицательны (больше либо равны нулю).
* У нулевой (вырожденной) квадратичной формы все коэффициенты равны нулю .
2) Ненулевая квадратичная форма с матрицей определена неположительно
тогда и только тогда, когда её:
– главные миноры 1-го порядка неположительны
(меньше либо равны нулю);
– главные миноры 2-го порядка неотрицательны
;
– главные миноры 3-го порядка неположительны
(пошло чередование);
…
– главный минор -го порядка неположителен
, если – нечётное либо неотрицателен
, если – чётное.
Если хотя бы один минор противоположного знака, то форма знакопеременна.
Посмотрим, как работает критерий в вышеприведённых примерах:
Составим матрицу формы, и в первую очередь
вычислим угловые миноры – а вдруг она определена положительно или отрицательно?
Полученные значения не удовлетворяют критерию Сильвестра, однако второй минор не отрицателен , и это вызывает надобность проверить 2-й критерий (в случае 2-й критерий будет не выполнен автоматически, т.е. сразу делается вывод о знакопеременности формы) .
Главные миноры 1-го порядка:
– положительны,
главный минор 2-го порядка:
– не отрицателен.
Таким образом, ВСЕ главные миноры не отрицательны, значит, форма неотрицательна .
Запишем матрицу формы 
, для которой, очевидно, не выполнен критерий Сильвестра. Но и противоположных знаков мы тоже не получили (т.к. оба угловых минора равны нулю). Поэтому проверяем выполнение критерия неотрицательности / неположительности. Главные миноры 1-го порядка:
– не положительны,
главный минор 2-го порядка:
– не отрицателен.
Таким образом, по критерию Шварценеггера (пункт 2), форма определена неположительно.
Теперь во всеоружии разберём более занятную задачку:
Пример 5
Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность
Данную форму украшает орден «альфа», который может равняться любому действительному числу. Но это ж только веселее будет, решаем .
Сначала запишем матрицу формы, наверное, многие уже приноровились это делать устно: на главную диагональ
ставим коэффициенты при квадратах, а на симметричные места – споловиненные коэффициенты соответствующих «смешанных» произведений:
Вычислим угловые миноры:
третий определитель я раскрою по 3-й строке:
Квадратичной формой L от n переменных называется сумма, каждый член которой является или квадратом одной из этих переменных, или произведением двух разных переменных.
Считая, что в квадратичной форме L уже сделано приведение подобных членов, введем следующие обозначения для коэффициентов этой формы: коэффициент при обозначим через , а коэффициент при произведении для – через . Так как , то коэффициент при этом произведении мог бы быть обозначен и через , т.е. введенные нами обозначения предполагают справедливость равенства . Член можно записать теперь в виде
а всю квадратичную форму L
– в виде суммы всевозможных членов , где i
и j
уже независимо друг от друга принимают значения
от 1 до n
:
(6.13)
Из коэффициентов можно составить квадратную матрицу порядка n; она называется матрицей квадратичной формы L , а ее ранг – рангом этой квадратичной формы. Если, в частности, , т.е. матрица – невырожденная, то и квадратичная форма L называется невырожденной . Так как , то элементы матрицы А, симметричные относительно главной диагонали, равны между собой, т.е. матрица А – симметричная . Обратно, для любой симметричной матрицы А n -го порядка можно указать вполне определенную квадратичную форму (6.13) от n переменных, имеющую элементы матрицы А своими коэффициентами.
Квадратичную форму (6.13) можно представить в матричном виде, используя введенное в п. 3.2 умножение матриц. Обозначим через Х столбец, составленный из переменных
Х является матрицей, имеющей n строк и один столбец. Транспонируя эту матрицу, получим матрицу 
, составленную из одной строки. Квадратичная форма (6.13) с матрицей может быть записана теперь в виде следующего произведения:
В самом деле:
и эквивалентность формул (6.13) и (6.14) установлена.
Записать ее в матричном виде.
○ Найдем матрицу квадратичной формы. Ее диагональные элементы равны коэффициентам при квадратах переменных, т.е. 4, 1, –3, а другие элементы – половинам соответствующих коэффициентов квадратичной формы. Поэтому
. ●
Выясним, как изменяется квадратичная форма при невырожденном линейном преобразовании переменных.
Заметим, что если матрицы А и В таковы, что их произведение определено, то имеет место равенство:
(6.15)
Действительно, если произведение АВ определено, то будет определено и произведение : число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . Элемент матрицы , стоящий в ее i -й строке и j -м столбце, в матрице АВ расположен в j -й строке и i -м столбце. Он равен поэтому сумме произведений соответственных элементов j -ой строки матрицы А и i -го столбца матрицы В, т.е. равен сумме произведений соответственных элементов строке j -го столбца матрицы и i -й строки матрицы . Этим равенство (6.15) доказано.
Пусть матрицы-столбцы переменных 
и 
связаны линейным соотношением Х = СY, где С = (c ij
) 
есть некоторая невырожденная матрица n
-го порядка. Тогда квадратичная форма
или 
, где .
Матрица будет симметричной, так как в виду равенства (6.15), справедливого, очевидно, для любого числа сомножителей, и равенства , равносильного симметричности матрицы А, имеем:
Итак, при невырожденном линейном преобразовании Х=СY матрица квадратичной формы принимает вид
Замечание. Ранг квадратичной формы не меняется при выполнении невырожденного линейного преобразования.
Пример. Дана квадратичная форма
Найти квадратичную форму , полученную из данной линейным преобразованием
, .
○ Матрица данной квадратичной формы 
, а матрица линейного преобразования 
. Следовательно, по (6.16) матрица искомой квадратичной формы
а квадратичная форма имеет вид . ●
При некоторых удачно выбранных линейных преобразованиях вид квадратичной формы можно существенно упростить.
Квадратичная форма 
называется канонической
(или имеет канонический вид
), если все ее коэффициенты при i
≠ j
:
,
а ее матрица является диагональной.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 6.1 . Любая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования переменных может быть приведена к каноническому виду.
Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму
○ Вначале выделим полный квадрат при переменной , коэффициент при квадрате которой отличен от нуля:
.
Теперь выделим квадрат при переменной , коэффициент при квадрате которой отличен от нуля:
Итак, невырожденное линейное преобразование
приводит данную квадратичную форму к каноническому виду
.●
Канонический вид квадратичной формы не является однозначно определенным, так как одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими способами. Однако полученные различными способами канонические формы обладают рядом общих свойств. Одно из этих свойств сформулируем в виде теоремы.
Теорема 6.2. (закон инерции квадратичных форм).
Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду.
Например, квадратичную форму
которую в рассмотренном на стр. 131 примере мы привели к виду
можно было, применив невырожденное линейное преобразование
привести к виду
.
Как видим, число положительных и отрицательных коэффициентов (соответственно, два и один) сохранилось.
Заметим, что ранг квадратичной формы равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы.
Квадратичная форма 
называется положительно (отрицательно) определенной, если при всех значениях переменных, из которых хотя бы одно отлично от нуля,
(
).
Квадратичной формой называется однородный многочлен 2-й степени от нескольких переменных.
Квадратичная форма от переменных состоит из слагаемых двух типов: квадратов переменных и их попарных произведений с некоторыми коэффициентами. Квадратичную форму принято записывать в виде следующей квадратной схемы:
Пары подобных членов записываются с одинаковыми коэффициентами, так что каждый из них составляет половину коэффициента при соответствующем произведении переменных. Таким образом, каждая квадратичная форма естественным образом связывается с матрицей ее коэффициентов, которая является симметричной.
Квадратичную форму удобно представлять и в следующей матричной записи. Обозначим через X столбец из переменных через X - строку т. е. матрицу, транспонированную с X. Тогда
Квадратичные формы встречаются во многих разделах математики и ее приложений.
В теории чисел и кристаллографии рассматриваются квадратичные формы в предположении, что переменные принимают только целочисленные значения. В аналитической геометрии квадратичная форма входит в состав уравнения кривой (или поверхности) порядка. В механике и физике квадратичная форма появляется для выражения кинетической энергии системы через компоненты обобщенных скоростей и т. д. Но, кроме того, изучение квадратичных форм необходимо и в анализе при изучении функций от многих переменных, в вопросах, для решения которых важно выяснить, как данная функция в окрестности данной точки отклоняется от приближающей ее линейной функции. Примером задачи этого типа является исследование функции на максимум и минимум.
Рассмотрим, например, задачу об исследовании на максимум и минимум для функции от двух переменных имеющей непрерывные частные производные до порядка. Необходимым условием для того, чтобы точка давала максимум или минимум функции является равенство нулю частных производных порядка в точке Допустим, что это условие выполнено. Придадим переменным х и у малые приращения и к и рассмотрим соответствующее приращение функции Согласно формуле Тейлора это приращение с точностью до малых высших порядков равно квадратичной форме где - значения вторых производных вычисленные в точке Если эта квадратичная форма положительна при всех значениях и к (кроме ), то функция имеет минимум в точке если отрицательна, то - максимум. Наконец, если форма принимает и положительные и отрицательные значения, то не будет ни максимума, ни минимума. Аналогичным образом исследуются и функции от большего числа переменных.
Изучение квадратичных форм в основном заключается в исследовании проблемы эквивалентности форм относительно той или другой совокупности линейных преобразований переменных. Две квадратичные формы называются эквивалентными, если одна из них может быть переведена в другую посредством одного из преобразований данной совокупности. С проблемой эквивалентности тесно связана проблема приведения формы, т. о. преобразования ее к некоторому возможно простейшему виду.
В различных вопросах, связанных с квадратичными формами, рассматриваются и различные совокупности допустимых преобразований переменных.
В вопросах анализа применяются любые неособенные преобразования переменных; для целей аналитической геометрии наибольший интерес представляют ортогональные преобразования, т. е. те, которым соответствует переход от одной системы переменных декартовых координат к другой. Наконец, в теории чисел и в кристаллографии рассматриваются линейные преобразования с целыми коэффициентами и с определителем, равным единице.
Мы рассмотрим из этих задач две: вопрос о приведении квадратичной формы К простейшему виду посредством любых неособенных преобразований и тот же вопрос для преобразований ортогональных. Прежде всего выясним, как преобразуется матрица квадратичной формы при линейном преобразовании переменных.
Пусть , где А - симметричная матрица из коэффициентов формы, X - столбец из переменных.
Сделаем линейное преобразование переменных, записав его сокращенно . Здесь С обозначает матрицу коэффициентов этого преобразования, X - столбец из новых переменных. Тогда и, следовательно, так что матрицей преобразованной квадратичной формы является
Матрица автоматически оказывается симметричной, что легко проверяется. Таким образом, задача о приведении квадратичной формы к простейшему виду равносильна задаче о приведении к простейшему виду симметричной матрицы посредством умножения ее слева и справа на взаимно транспонированные матрицы.
