Как доказать что угол равен углу. Смежные и вертикальные углы
Треугольник является самым простым из типов многоугольников, у которого три угла и три стороны. Стороны образованы отрезками, которые объединены между собой тремя точками на плоскости, образуя при этом жесткую форму. Равенство 2-х треугольников дозволено подтвердить несколькими методами.
Инструкция
1. Если у треугольников ABC и DEF две стороны равны, а угол?, тот, что размещен между двумя сторонами треугольника ABC, равен углу?, тот, что размещен между соответствующими сторонами треугольника DEF, то эти два треугольника равны между собой.
2. Если у треугольников ABC и DEF сторона AB равна стороне DE, а углы, прилегающие к стороне AB, равны углам, прилегающим к стороне DE, то эти треугольники считаются равными.
3. Если у треугольников ABC стороны AB, BC и CD равны соответствующим им сторонам треугольника DEF, то данные треугольники равны.
Обратите внимание!
Если требуется подтвердить равенство между собой 2-х прямоугольных треугольников, то это дозволено сделать при помощи следующих знаков равенства прямоугольных треугольников:- по одному из катетов и гипотенузе;- по двум знаменитым катетам;- по одному из катетов и прилежащему к нему острому углу;- по гипотенузе и одному из острых углов.Треугольники бывают остроугольными (если все углы его поменьше 90 градусов), тупоугольными (если один из его углов огромнее 90 градусов), равносторонними и равнобедренными (если две стороны его равны).
Полезный совет
Помимо равенства треугольников между собой, эти же треугольники являются сходственными. Сходственными треугольниками считаются те, у которых углы равны между собой, а стороны одного треугольника пропорциональны сторонам иного. Стоит подметить, что если два треугольника подобны между собой, то это не гарантирует их равенство. При делении сходственных сторон треугольников друг на друга рассчитывается так называемый показатель подобия. Также данный показатель дозволено получить путем деления площадей сходственных треугольников.
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности, и центральный угол AOC (рис. 5).
Так как отрезки AO и BO являются радиусами окружности, то треугольник AOB – равнобедренный, и угол ABO равен углу OAB . Поскольку угол AOC является внешним углом треугольника AOB , то справедливы равенства
Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.
Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).
и теорема 1 в этом случае доказана.
Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).
В этом случае справедливы равенства
что и завершает доказательство теоремы 1.
Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.
Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.
Нас интересует величина угла AED E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD
что и требовалось доказать.
Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.
Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.
Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства
что и требовалось доказать.
Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.
Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.
Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD –диаметр, проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углыDAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства
что и требовалось доказать
Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.
Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.
Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что уголBDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства
Инструкция
Если у треугольников ABC и DEF сторона AB равна стороне DE, а углы, прилегающие к стороне AB, равны углам, прилегающим к стороне DE, то эти треугольники считаются равными.
Если у треугольников ABC стороны AB, BC и CD равны соответствующим им сторонам треугольника DEF, то данные треугольники равны.
Обратите внимание
Если требуется доказать равенство между собой двух прямоугольных треугольников, то это можно сделать при помощи следующих признаков равенства прямоугольных треугольников:
По одному из катетов и гипотенузе;
- по двум известным катетам;
- по одному из катетов и прилежащему к нему острому углу;
- по гипотенузе и одному из острых углов.
Треугольники бывают остроугольными (если все углы его меньше 90 градусов), тупоугольными (если один из его углов больше 90 градусов), равносторонними и равнобедренными (если две стороны его равны).
Полезный совет
Помимо равенства треугольников между собой, эти же треугольники являются подобными. Подобными треугольниками считаются те, у которых углы равны между собой, а стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого. Стоит отметить, что если два треугольника подобны между собой, то это не гарантирует их равенство. При делении подобных сторон треугольников друг на друга рассчитывается так называемый коэффициент подобия. Также этот коэффициент можно получить путем деления площадей подобных треугольников.
Источники:
- доказать равенство площадей треугольников
Два треугольника равны, если все элементы одного равны элементам другого. Но необязательно знать все размеры треугольников, чтобы сделать заключение об их равенстве. Достаточно иметь определенные наборы параметров заданных фигур.
Инструкция
Если известно, что две стороны одного треугольника равны другого и равны углы между этими сторонами, то рассматриваемые треугольники равны. Для доказательства совместите вершины равных углов двух фигур. Продолжайте наложение. Из полученной общей для двух треугольников точки направьте одну сторону угла наложенного треугольника по соответствующей стороне нижней фигуры. По условию, эти стороны в двух равны. Значит, концы отрезков совпадут. Следовательно, совместилась еще одна пара вершин в заданных треугольниках. Направления вторых сторон угла, с которого начато , совпадут вследствие равенства этих углов. А поскольку эти стороны равны, произойдет наложение последней вершины. Между двумя точками возможно проведение единственной прямой. Следовательно, третьи стороны в двух треугольниках совпадут. Вы получили две полностью совпавшие фигуры и доказанный первый признак равенства треугольников.
Если сторона и прилежащие к ней два угла в одном треугольнике равны соответствующим в другом треугольнике, то два эти треугольника равны. Для доказательства правильности этого утверждения наложите две фигуры, совместив вершины равных углов при равных сторонах. Вследствие равенства углов совпадет направление второй и третьей сторон и однозначно определится место их пересечения, т. е. третья вершина первого из треугольников обязательно совместится с аналогичной точкой второго. Второй признак равенства треугольников доказан.
