"нестандартные признаки равенства треугольников". Как установить и доказать, что треугольники равны Исключение из первого закона равенства треугольников
Всем известно, что два отрезка будут равны, если их длины совпадают. Или окружности можно считать равными, если равны их радиусы. А каковы признаки равенства треугольников? 7 класс средней образовательной школы: на уроке геометрии школьники узнают, что, оказывается, есть элементы при равенстве которых можно считать равными треугольники, их содержащие. Это очень удобно использовать при решении задач.
Первый признак равенства треугольников
Соблюдение условия соответственного равенства двух сторон и угла, который заключен между ними в одном треугольнике двум сторонам и углу, который заключен между ними в другом треугольнике, говорит о том, что такие треугольники являются равными.
Доказательство.
Если рассмотреть △ABC и △A1B1C1, где стороны AB =A1B1, BC= B1C1,
а ∠ABC равен ∠A1B1C1,
тогда △ A1B1C1 можно наложить на △ ABC таким образом, чтобы ∠ A1B1C1 совпал с ∠ABC. При этом треугольники совпадут полностью, ведь совпадут все их вершины.
(Если это необходимо треугольник A1B1C1 можно заменить равным ему "перевернутым" треугольником, т. е. треугольником, симметричным A1B1C1.)
Второй признак равенства треугольников
При условии, что одна сторона и два угла, которые прилежат к ней, в одном треугольнике соответственно равны стороне и двум углам, которые прилежат к ней в другом треугольнике, то такие треугольники считаются равными.
Доказательство.
Если в △ АВС и △А 1 В 1 С 1 будут иметь место следующие равенства
∠BAC = ∠B1A1C1,
∠АВС= ∠А1В1С1.
Наложим друг на друга треугольники А1В1С1 и АВС таким образом, чтобы совпали равные стороны AB и A1B1 и углы, которые к ним прилегают. Как и в уже рассмотренном предыдущем примере, если это необходимо, треугольник А1В1С1 можно "перевернуть и приложить обратной стороной". Треугольники совпадут, а следовательно они могут считаться равными.
Третий признак равенства треугольников
При условии, что три стороны у одного треугольника соответственно равны всем трем сторонам в другом треугольнике, то такие треугольники считаются равными. Доказательство.
Пусть для △ABC и △A1B1C1 справедливы равенства А1В1= АВ В1С1=ВС С1А1=СА Переместим треугольник А1В1С1 таким образом, что сторона А1В1 совпдет со стороной АВ, и вершины B1 и B, A1 и A, совпадут. Возьмем окружность с центром в A и радиусом AC, и вторую окружность с центром B и радиусом BC. Эти окружности пересекутся в двух симметричных относительно отрезка AB точках: точкой C и точкой C2. Значит, C1 после переноса треугольника A1B1C1 должна совпасть или с точками C, или с C2. Любом случае, это будет означать равенство△ ABC= △A1B1C1, так как треугольники △ABC =△ABC2 равны (ведь эти треугольники являются симметричными относительно отрезка AB.)
Признаки равенства треугольников прямоугольных
В прямоугольных треугольниках угол между катетами – прямой, следовательно в любых прямоугольных треугольниках уже есть равные углы. Значит, справедливы будут следующие замечания.
- Прямоугольные треугольники равны, если катеты одного из них соответственно равны катетам другого;
- Прямоугольные треугольники равны, при соблюдении условия соответственного равенства гипотенуз и одного из катетов в этих треугольниках.
Если убрать из второго признака, который говорит о равенстве треугольников, условие о прилежащем к катету прямом угле (тат как прямые углы в треугольниках равны), имеем следующее:
- такие треугольники равны, при условии, что катет а также острый угол, прилежащий к нему в одном прямоугольном треугольнике соответственно равны катету и острому углу, в другом прямоугольном треугольнике.
Известно, что сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180˚, а один из углов прямоугольного треугольника - прямой. Значит, если в двух прямоугольных треугольниках острые углы равны, то и оставшиеся углы равны. Для обычных, не прямоугольных треугольников, для определения равенства фигур, достаточно знать, что равны соответственно одна сторона и два прилежащих к ней углам. В прямоугольном треугольнике можно рассматривать только один острый угол и гипотенузу для определения равенства фигур.
- Прямоугольные треугольники будут равны при условии, что острый угол и гипотенуза одного из них равны острому углу и гипотенузе в другом.
Удивительная наука - геометрия! Признаки равенства треугольников могут пригодиться не только для школьных учебников, но и для решения ежедневных задач, которые решают взрослые люди в повседневной жизни.
1) по двум сторонам и углу между ними
Доказательство:
Пусть у треугольников АВС и А 1 В 1 С 1 угол A равен углу А 1 , АВ равно А 1 В 1, АС равно А 1 С 1 . Докажем, что треугольники равны.
Наложим треугольник ABC (либо симметричный ему) на треугольник A 1 B 1 C 1 так, чтобы угол A совместился с углом A 1 . Так как АВ=А 1 В 1 , а АС=А 1 С 1 , то B совпадёт с В 1 , а C совпадёт с С 1. Значит, треугольник А 1 В 1 С 1 совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.
Теорема доказана.
2) по стороне и прилежащим к ней углам
Доказательство:
ПустьАВС и А 1 В 1 С 1 - два треугольника, у которых АВ равно А 1 В 1, угол А равен углу А 1 , и угол В равен углу В 1 . Докажем, что они равны.
Наложим треугольник ABC (либо симметричный ему) на треугольник A 1 B 1 C 1 так, чтобы AB совпало с A 1 B 1. Так как ∠ВАС =∠В 1 А 1 С 1 и ∠АВС=∠А 1 В 1 С 1 , то луч АС совпадёт с А 1 С 1 , а ВС совпадёт с В 1 С 1 . Отсюда следует, что вершина C совпадёт с С 1. Значит, треугольник А 1 В 1 С 1 совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.
Теорема доказана.
3) по трём сторонам
Доказательство
:
Рассмотрим треугольники ABC и A l B l C 1, у которых АВ=А 1 В 1 , BC = B l C 1 СА=С 1 А 1. Докажем, что ΔАВС =ΔA 1 B 1 C 1 .
Приложим треугольник ABC (либо симметричный ему) к треугольнику A 1 B 1 C 1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной A 1 , вершина В — с вершиной В 1 , а вершины С и С 1 , оказались по разные стороны от прямой А 1 В 1 . Рассмотрим 3 случая:
1) Луч С 1 С про-ходит внутри угла А 1 С 1 В 1 . Так как по условию теоремы стороны АС и A 1 C 1 , ВС и В 1 С 1 равны, то треугольники A 1 C 1 C и В 1 С 1 С — равнобедренные . По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, поэтому ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1 .
2) Луч С 1 С совпадает с одной из сторон этого угла. A лежит на CC 1 . AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , C 1 BC - равнобедренный , ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1 .
3) Луч C 1 C проходит вне угла А 1 С 1 В 1 . AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , значит, ∠1 = ∠2, ∠1+∠3 = ∠2+∠4, ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1 .
Итак, AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , ∠C=∠C 1 . Следовательно, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по
первому признаку равенства треугольников.
Теорема доказана.
2.
Деление отрезка на n равных частей.
Провести луч через A, отложить на нём n равных отрезков. Через B и A n провести прямую и к ней параллельные через точки A 1 - A n -1. Отметим их точки пересечения с AB. Получим n отрезков, которые равны по теореме Фалеса.
Теорема Фалеса.
Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.
Доказательство. AB=CD
1. Проведём через точки A и C прямые, параллельные другой стороне угла. Получим два параллелограмма AB 2 B 1 A 1 и CD 2 D 1 C 1 . Согласно свойству параллелограмма : AB 2 = A 1 B 1 и CD 2 = C 1 D 1 .
2. ΔABB 2 =ΔCDD 2 ABB 2 CDD 2 BAB 2 DCD 2 и равны на основании второго признака равенства треугольников:
AB = CD согласно условию теоремы,
как соответственные, образовавшиеся при пересечении параллельных BB 1 и DD 1 прямой BD.
3. Аналогично каждый из углов и оказывается равным углу с вершиной в точке пересечения секущих. AB 2 = CD 2 как соответственные элементы в равных треугольниках.
4. A 1 B 1 = AB 2 = CD 2 = C 1 D 1
Международная научно-практическая конференция «Первые шаги в науку»
«Новые» признаки равенства треугольников
Математика
9б класс МБОУ «Брянский городской
лицей №2 имени »
Руководитель: учитель математики
Брянск 2013
1. Введение
2. Создание каталога базовых задач на построение с помощью циркуля и линейки
3. Сопоставление изученных признаков равенства треугольников и задач на построение треугольников. Отыскание нового метода доказательства признаков равенства треугольников
4. Доказательство новых признаков равенства треугольников
5. Обобщение полученных результатов
6. Применение новых признаков равенства треугольников при решении задач
7. Заключение
I. Введение
«Если две стороны и угол между ними одного треугольника…..». Заученные, как таблица умножения, признаки равенства треугольников. Сотни раз мы цитировали и применяли их при решении задач. Казалось бы, что может быть проще? Мы знаем об этом все!
Однако до сих пор остались вопросы, ответы на которые не дают нам покоя. Метод наложения, используемый для доказательства первого признака равенства, показался нам несколько искусственным. Не потому ли мы никогда не использовали его в решении задач? Почему так мало признаков равенства треугольников? В 8 классе строили треугольники по все тем же двум сторонам и углу между ними. Случайность? Но в математике нет случайных совпадений.
Возможно, обнаружив связь между решением задач на построение треугольников и признаками равенства, мы получим новый метод доказательства ПРТ. «Вооружившись» им мы сможем доказать другие признаки равенства треугольников. Мы уверены, что их гораздо больше, чем 3!
Чтобы убедиться в том, что ответы на эти вопросы волнуют не только нас, мы провели социологический опрос среди учащихся и учителей лицея (см. приложение 3).
Наши предположения подтвердились. Большинство учеников знают только 3 признака равенства треугольников. Метод наложения не пользуется большой популярностью. Задачи на построение также не кажутся интересной темой в геометрии. А этап исследования многие вообще считают лишним.
Таким образом, целью нашего исследования стало отыскание более понятного нам метода доказательства признаков равенства треугольников и новых признаков равенства треугольников.
Крайне важно было дополнить перечень простейших задач на построение, изученных в седьмом классе, другими элементарными построениями, которые мы проходили в курсе восьмого и девятого класса. Всего получилось 12 базовых построений (см. приложение 1). В ходе дальнейшего исследования мы будем неоднократно обращаться к этому перечню.
Нужно отметить, что все задачи мы решали по алгоритму: дано-построить-анализ-построение-доказать-доказательство-исследование. Для простых задач и задач, решение которых известно, этап анализа мы опускали.
Больше всего внимание уделялось последнему этапу – исследованию, именно он дал нам возможность отыскать новый метод доказательства.
Чертежи было решено выполнять в программе Paint, поэтому возникла необходимость заранее научиться работать в ней.
II. Создание каталога базовых задач на построение с помощью циркуля и линейки
Большая часть нашей работы заключается в решении задач на построение треугольников, поэтому на первом этапе работы мы составили список простейших построений. Это позволило сделать решение задач более коротким и красивым.
Все задачи мы решали по плану: дано – построить – построение – доказать – доказательство - исследование. Особое значение уделялось этапу исследования.
Базовые задачи на построение решались в различных разделах геометрии 7 и 8 класса. Мы их собрали в единый каталог.
1) Построение отрезка, равного данному;
2) Построение угла, равного данному;
3) Построение биссектрисы угла;
4) Построение середины отрезка;
5) Построение перпендикуляра через точку лежащую/не лежащую на данной прямой;
6) Построение прямой, параллельной данной;
7) Построение третьего угла, по двум известным;
8) Построение касательной к окружности, через точку не лежащую на данной окружности;
9) Деление отрезка в заданном отношении;
10) Деление отрезка в заданном отношении отрезков;
11) Деление отрезка на n равных отрезков.
Подробное решение этих задач представлено в приложении 1.
III. Сопоставление изученных признаков равенства треугольников и задач на построение треугольников. Отыскание нового метода доказательства признаков равенства треугольников.
Для поиска нового метода доказательства ПРТ мы сопоставили условие первого ПРТ с условием одной из задач на построение. Они оказались одинаковыми и мы предположили, что это не случайно и решение задачи на построение приведет нас к нахождению нового метода доказательства.
Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними
https://pandia.ru/text/78/103/images/image003_23.jpg" width="667" height="82 id=">
Вывод: В силу единственности построения, все треугольники, у которых две стороны и угол между ними соответственно равны заданным элементам, равны.
Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам
https://pandia.ru/text/78/103/images/image007_16.jpg" width="629" height="497">
ПРТ, доказанный в решении этой задачи, звучит так: «Если две стороны и медиана, проведенная к третьей, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной к третьей, другого треугольника, то эти треугольники равны.»
Но не все задачи решались так просто. Например, задача на построение по двум сторонам и углу, прилежащему к одной из сторон, нового признака равенства не дала. Однако стоило нам немного изменить условие, и был получен еще один ПРТ. Решение этой задачи было особенно важно для нас, потому что ее условие мы придумывали сами.
https://pandia.ru/text/78/103/images/image010_3.png" width="630" height="340 id=">
После решения этой задачи, мы обратились к интернет - ресурсам и узнали, что это утверждение иногда называют 4 признаком равенства треугольников. Его доказательство приведено профессором МГУ, на сайте «Математика в школе», создателем которого является факультет педагогического образования МГУ имени. Это доказательство принципиально отличается от предложенного нами . Полное доказательство вы найдете http://www. school. *****///.
V. Обобщение полученных результатов
Итак, мы нашли новый метод доказательства ПРТ. Если по трем элементам треугольник построен единственный, то соответственное равенство этих элементов у двух треугольников означает, что треугольники равны.
Этот метод позволил создать новые признаки равенства треугольников:
4 ПРТ. По двум сторонам и углу, противолежащему к большей из них.
5 ПРТ. По стороне, противолежащему углу и высоте, проведенной из вершины данного угла.
6 ПРТ. По двум углам и высоте, проведенной из вершины третьего.
7 ПРТ. По двум углам и периметру (два варианта решения).
8 ПРТ. По двум сторонам и медиане, проведенной к третьей.
9 ПРТ. По трем медианам.
10 ПРТ. По двум углам и стороне, прилежащей к одному из них.
Подробное доказательство каждого из них представлено в приложении 3.
VI. Применение новых признаков равенства треугольников при решении задач
Возможно, кого-то мы еще не до конца убедили в важности нашего исследования. Конечно, любое исследование важно само по себе, ведь это изучение проблемы, поиск ответов на вопросы… Но наша работа имеет более определенное практическое значение, нежели просто интерес. Ведь множество задач по геометрии требует знания признаков равенства треугольников, а чем больше признаков, тем разнообразнее решения.
В учебнике «Геометрия 7-9» Атанасяна приведена задача повышенной сложности № 000*
Приведем ее решение двумя способами.
1 способ. «Удвоение медианы»
Доказательство:
MD=AM, DÎпрямой АМ
M1D1=A1M1, D1Îпрямой А1M1
2) AM=MD и BM=MC => ABCD-параллелограмм (по признаку)
3) A1M1=M1D1 и B1M1=M1C1 => A1B1C1D1-параллелограмм (по признаку)
4) DАВС=DА1В1С1, т. к.: АВ=А1В1(по условию)
AD=2AM=2A1M1=A1D1
B1D1=A1C1=A1C1=B1D1 (по свойству сторон параллелограмма)
5) Из равенства DАВD и DА1В1D1 следует равенство углов ÐАВD=ÐА1В1D1 => ÐВАС=180°-ÐАВD=180°-ÐА1В1D1 =ÐВ1А1С1
6) Рассмотрим DАВС и DА1В1С1:
АВ=А1В1; АС=А1С1, по условию; ÐА=ÐА1, по доказанному =>DА1В1С1=DА1В1С1 по двум сторонам и углу между ними.
2 способ. С применением 7ПРТ
Доказательство:
По условию АВ=А1В1; АС=А1С1; АМ=А1М1. Следовательно, DАВС=DА1В1С1 по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей (7ПРТ).
Очевидно, что 2 способ намного короче.
VII. Заключение
Подведем итоги: мы нашли метод доказательства ПРТ, отличный от метода наложения, доказали «новые» признаки равенства треугольников и решили задачи с применение этих признаков.
Также мы убедились, что в самой простой, на первый взгляд, теме может скрываться множество тайн. А задачи на построение треугольников, казавшиеся нам скучными и ненужными, стали намного интереснее, и в их актуальности больше нет никаких сомнений.
Мы нашли «инструмент», с помощью которого легко искать новые признаки равенства треугольников. Теперь, в случае необходимости, мы можем проверить, является ли набор из трех элементов признаком равенства треугольников или нет. И, несомненно, огромное удовольствие доставлял сам процесс поиска сначала нового метода доказательства ПРТ, а впоследствии открытия новых признаков равенства треугольников. Попутно мы освоили программу Paint.
Мы не можем утверждать, что были первыми, кто занимается этой проблемой. И, скорее всего, данный метод доказательства ПРТ был известен до нас. Возможно, мы что-то упустили и в «нашем» методе не все гладко. Поэтому, мы хотим представить нашу работу широкому кругу читателей. Их мнение для нас очень важно. Для этого исследование мы разместили на сайте «Виртуальный музей Лицея №2»(http://www. *****/) и завязали переписку с профессором. Мы упросили его дать отзыв о нашей работе .
Учащиеся и педагоги могут воспользоваться результатами нашего исследования при подготовке к урокам и экзаменам. Например, использовать расширенный список базовых задач на построение, открыть для себя новый метод доказательства ПРТ, самостоятельно доказывать признаки равенства треугольников, а также воспользоваться уже доказанными нами признаками. Очень важно, что появилась возможность сократить время на решение задач по геометрии на контрольных и экзаменах.
Список литературы
1. и др. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. 8-е изд.-М.: Просвещение, АО «Московсий учебник», 2010.
2. «Это должен знать каждый матшкольник». 5-е издание, стереотип.-М.:МЦНМО, 2008-56.
3. «Четвертый признак равенства треугольников», «Математика в школе» http://www. school. *****///.
4. Сайт «Виртуальный музей Лицея №2»(http://www. *****/)
Приложение 1
Простейшие задачи на построение
Базовые построения с помощью циркуля и линейки
Исследование:
построение единственное в силу единственности каждого построения.
Примечание:
PQ
-серединный перпендикуляр к отрезку АВ
Приложение 2
Задачи на построение треугольников
4. Построить треугольник по двум углам и стороне прилежащей к одному из данных углов.
5. Построить треугольник по стороне, противолежащему углу и высоте, проведенной из данного угла
(решим задачу методом геометрических мест точек)
6. Построить треугольник по двум углам и высоте, проведенной из третьего.
(решим задачу методом подобия)
7. Построение треугольника по двум сторонам и углу, прилежащему к одной из этих сторон
Инструкция
Если у треугольников ABC и DEF сторона AB равна стороне DE, а углы, прилегающие к стороне AB, равны углам, прилегающим к стороне DE, то эти треугольники считаются равными.
Если у треугольников ABC стороны AB, BC и CD равны соответствующим им сторонам треугольника DEF, то данные треугольники равны.
Обратите внимание
Если требуется доказать равенство между собой двух прямоугольных треугольников, то это можно сделать при помощи следующих признаков равенства прямоугольных треугольников:
По одному из катетов и гипотенузе;
- по двум известным катетам;
- по одному из катетов и прилежащему к нему острому углу;
- по гипотенузе и одному из острых углов.
Треугольники бывают остроугольными (если все углы его меньше 90 градусов), тупоугольными (если один из его углов больше 90 градусов), равносторонними и равнобедренными (если две стороны его равны).
Помимо равенства треугольников между собой, эти же треугольники являются подобными. Подобными треугольниками считаются те, у которых углы равны между собой, а стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого. Стоит отметить, что если два треугольника подобны между собой, то это не гарантирует их равенство. При делении подобных сторон треугольников друг на друга рассчитывается так называемый коэффициент подобия. Также этот коэффициент можно получить путем деления площадей подобных треугольников.
Источники:
- доказать равенство площадей треугольников
Два треугольника равны, если все элементы одного равны элементам другого. Но необязательно знать все размеры треугольников, чтобы сделать заключение об их равенстве. Достаточно иметь определенные наборы параметров заданных фигур.
Инструкция
Если известно, что две стороны одного треугольника равны другого и равны углы между этими сторонами, то рассматриваемые треугольники равны. Для доказательства совместите вершины равных углов двух фигур. Продолжайте наложение. Из полученной общей для двух треугольников точки направьте одну сторону угла наложенного треугольника по соответствующей стороне нижней фигуры. По условию, эти стороны в двух равны. Значит, концы отрезков совпадут. Следовательно, совместилась еще одна пара вершин в заданных треугольниках. Направления вторых сторон угла, с которого начато , совпадут вследствие равенства этих углов. А поскольку эти стороны равны, произойдет наложение последней вершины. Между двумя точками возможно проведение единственной прямой. Следовательно, третьи стороны в двух треугольниках совпадут. Вы получили две полностью совпавшие фигуры и доказанный первый признак равенства треугольников.
Если сторона и прилежащие к ней два угла в одном треугольнике равны соответствующим в другом треугольнике, то два эти треугольника равны. Для доказательства правильности этого утверждения наложите две фигуры, совместив вершины равных углов при равных сторонах. Вследствие равенства углов совпадет направление второй и третьей сторон и однозначно определится место их пересечения, т. е. третья вершина первого из треугольников обязательно совместится с аналогичной точкой второго. Второй признак равенства треугольников доказан.
